3.1. Введение и назначение

Препроцессор PRADIS реализует объектно-ориентированный подход к моделированию динамики технических систем. Математическая основа любой схемы базируется на узлах (Nodes) и их степенях свободы (DOF), которые определяют размерность и физическую природу расчётного пространства. Для соединения подсистем с различной размерностью, преобразования координат или выделения отдельных физических переменных применяются специализированные интерфейсные компоненты – сплиттеры (splitters). Настоящее руководство объединяет теорию базовых узлов, описание сплиттеров и практическую методику их применения. Документ предназначен для инженеров-расчётчиков, создающих модели сложной структуры, в том числе многодоменные (механика + гидравлика + автоматика + акустика) и гибридные (2D/3D) схемы.

Основные понятия, используемые в PRADIS:

Степень свободы в PRADIS соответствует одной потенциальной переменной узла, для которой в уравнениях модели формируется сопряженная потоковая переменная: сила, момент, расход, ток или иной обобщенный поток в зависимости от физического домена. Порт – конечная совокупность степеней свободы. Каждый компонент имеет минимум один порт. Объект на схеме, соединяющий порты разных компонентов, называется связью (проводником в терминах препроцессора PRADIS), а соединение связей на схеме называется узлом. При этом порт, исходящая из него связь и узел всегда имеют одинаковое количество степеней свободы. Сплиттер – объект, который позволяет соединять проводники с разным числом степеней свободы.

Обобщение основных понятий:

Объект	Назначение
Порт	Интерфейс компонента
Связь	Соединение портов
Узел	Топологическое объединение связей
DOF	Элементарная степень свободы
Сплиттер	Преобразователь структуры DOF

3.2. Узлы и степени свободы в PRADIS

3.2.1. Концепция DOF

Каждый компонент препроцессора соединяется с другими через порты, которые привязаны к математическим степеням свободы. Тип порта определяет:

• Количество независимых координат (поступательных и вращательных);

• Физический домен (механика, термодинамика, акустика, логика);

Таким образом, для каждого типа узла состав потенциальных и потоковых переменных, размерность расчётного пространства и структура вкладов элемента в расчётную систему PRADIS определяются типом портов для соответствующих связей. Узлы могут быть представлены одной или несколькими элементарными степенями свободы, которые описываются базовым типом DOF, что обеспечивает строгую совместимость уравнений при автоматической генерации системы ОДУ.

3.2.2. Классификация и описание узлов

Узел	Н азначение	Число с тепеней св ободы	Состав эле ментов	Физический смысл
DOF	Узел с одномерной степенью свободы	1	x	Простая степень свободы, хар актеризующаяся перемещением по одному направлению, электрическим потенциалом, давлением и т.п.
XY	Узел двухмерного пост упательного движения	2	x, y	Плоское поступательное перемещение без вращения.
XYZ	Узел пост упательного 3D движения	3	x, y, z	Пр остранственное поступательное перемещение. Распределение фаз в трехфазной электрике.
Point2d	Узел планарного движения точки	3	x, y, R	Плоское движение с вращением (X, Y + R). Стандарт для 2D-механизмов.
Point	Узел 3D движения точки	6	x, y, z, rx, ry, rz	Полное пр остранственное движение твердого тела/точки.
BUS	Узел шины	0	(отсу тствуют)	Логическая коммутация. Группировка портов, передача управляющих сигналов без физической инерции.
ThermalFluid2	Тепловая гидравлика	4	p, h, ro, T	Работа с давлением, энтальпией, плотностью и температурой среды.
The rmal2MixFluid2	Смесевая гидравлика	5	p, h, ro, T, x	Работа с давлением, энтальпией, плотностью и температурой среды, а также с массовой долей первой компоненты.

Дополнительная информация по узлам и степеням свободы содержится по ссылке (актуальная ссылка после выгрузки в git)

3.2.3. Рекомендации по выбору узла

• DOF – оптимальный выбор для задач с одной обобщенной координатой (пружины, демпферы, поршни, электрические ветви).

• XY – плоские системы без учета поворота звеньев (ползуны, направляющие, деформации плоских конструкций).

• Point2d – планарные механизмы с вращением (кривошипы, рычаги, плоские манипуляторы).

• Point – полное 3D-моделирование с учетом поступательных и вращательных степеней свободы (балки, стержни, пространственные пружины). Для пространственных механических узлов Point угловые степени свободы требуют отдельного внимания, поскольку в PRADIS они могут описываться через специальные кинематические параметры. Более подробно об угловых степенях свободы при моделировании 3d движения можно прочитать здесь (актуальная ссылка после выгрузки в git)

• BUS – логический/структурный интерфейс без собственных физических степеней свободы

• ThermalFluid2 – работа со средами, состоящими из одной фазы с контролем давления, плотности, температуры, энтальпии (дроссели, гидроаккумуляторы, гидроцилиндры, насосы)

• Thermal2MixFluid2 - работа со средами, состоящими из двух фаз с контролем давления, плотности, температуры, энтальпии и массовой доли первой компоненты (дроссели, дегазатор/аэратор, насосы)

3.3. Сплиттеры: инструменты согласования и декомпозиции (splitters)

3.3.1. Назначение и принцип работы

Сплиттеры – это интерфейсные компоненты, выполняющие роль математических адаптеров. Большинство сплиттеров не вводят собственных инерционных свойств; некоторые адаптеры размерности могут вводить параметризованную жесткую или упругую связь между подсистемами. Cплиттер не должен использоваться как физическая модель деформации, если его паспорт описывает только преобразование координат или декомпозицию DOF.

Назначение сплиттеров:

• Декомпозируют составные узлы на элементарные степени свободы (DOF);

• Преобразуют координаты между глобальной и локальными системами отсчёта (ЛСК);

• Извлекают отдельные термодинамические, акустические или потоковые переменные;

  1. Классификация сплиттеров

Сплиттер	Функция	Свойства
Кинематические разветвители (Декомпозиция механических узлов на элементарные порты DOF или субузлы)
	{P3D(Point)}{X, Y, Z, Rx, Ry, Rz}
	{XY}{X, Y}
	{P2D}{XY, R}
	{P3D}{D, R}
	{XYZ}{X, Y, Z}
	{P2D}{X, Y, R}	Разделение плоского движения на компоненты.
Адаптеры размерности (Жёсткая/упругая связь плоских (2D) и пространственных (3D) подсистем)
	{P2D}{P3D}	Kx, Ky, Kt (жёсткости, по умолч.1e6); PointO, PointX, PointXoY (ориентация 2D-плоскости в 3D)
Преобразователи координат (ЛСК) (Трансформация координат между ГСК и ЛСК через матрицу поворота/смещения)
	LCS0 – матрица поворота/смещения новой	ЛСК относительно ГСК
Теплогидравлические (Выделение давления p, температуры T, энтальпии h, плотности ro, концентрации x ** **(В отличие от датчиков, обладающих сопротивлением, не влияет на параметры системы.))
	{Fluid (ThermalFluid)}{p, T}	Базовый контроль давления и температуры среды.
	{Fluid (Thermal2MixFluid2)} {p, h, ro, T, x}	Полный термодинамический расчёт двухфазных смесей.
	{Fluid (Thermal2MixFluid)} {p, T, x}	Базовый контроль давления, температуры среды и доли содержания первой рабочей среды в смеси.
	{Fluid (EngineLib.ThermalFluid)}{p, T}	Базовый контроль давления и температуры среды.
	{Fluid (ThermalFluid2)}{p, h, ro, T}	Базовый контроль давления, температуры среды, энтальпии и плотности.

3.3.2. Подключение линейного демпфера (DOF) к пространственной массе (Point)

3.3.2.1. Пример с упрощенной амортизаторной стойкой

Описание модели

Модель элемента с начальным перемещением предназначена для анализа поведения пространственного инерционного элемента в случае начального перемещения по оси z, после чего формируется движение объекта с учетом его инерционных свойств. Линейный демпфер работает с одномерным узлом DOF. Пространственная масса работает с узлом Point. Для соединения этих элементов необходимо выделить из Point соответствующую степень свободы. Эту задачу выполняет Point2DOFs. Система отслеживает положение объекта в заданный отрезок времени.

На практике такую систему можно представить в виде работы упрощенной амортизаторной стойки, расчет которой позволяет выявить амплитуду перемещения измеряемого элемента за заданный промежуток времени, а также получить диаграмму результатов расчетов.

Параметры модели

S0 — начальное перемещение, м; S0 = 0,07.

mass — масса объекта, кг; mass = 60.

moments - главные моменты инерции относительно локальных осей; moments = 1.0, 1.0, 1.0.

K - коэффициент упругости, Н/м; K=2500.

SV1MUT- вязкость с задаваемой таблично зависимостью усилия от скорости, м/с, Н*с/м (попарно); -1, -500, 0, 0, 1, 150.

Элементы модели

Начальное перемещение X0 — задаёт перемещение по оси Z.

Пространственный инерционный элемент MJ3D1— механический объект, положение которого отслеживается.

Point2DOFs – разветвитель узла Point по степеням свободы x, y, z, Rx, Ry, Rz.

Датчик перемещения X1— измеряет перемещение объекта во времени.

SV1MUT1 - одномерная вязкостная связь с задаваемой таблично зависимостью усилия от скорости.

K1 – элемент упругости.

Схема модели в PRADIS и полученные графики.

На графике мы наблюдаем переходной процесс изменения перемещения заданной массы от 0,07 м за время 5 с.

3.3.2.2. Пример с амортизаторной стойкой с учетом бокового наклона профиля дороги

Описание модели

В модели с пространственным инерционным элементом и шестью характеристиками в виде упругости и вязкости применяется постоянный источник силы, задается начальное перемещение. На практике такую систему можно представить в виде работы амортизаторной стойки, в случае, когда профиль дороги имеет боковой наклон и автомобиль наезжает на препятствие определенной высоты. Расчет позволяет выявить скорость и амплитуду перемещения измеряемого элемента, а также получить диаграмму результатов расчетов.

Параметры модели

S0 — начальное перемещение, м; S0 = 0,07.

mass — масса объекта, кг; mass = 60.

moments - главные моменты инерции относительно локальных осей; moments = 1.0, 1.0, 1.0.

K - коэффициент упругости, Н/м; K=2500.

SV1MUT- вязкость с задаваемой таблично зависимостью усилия от скорости, м/с, Н*с/м (попарно); -1, -500, 0, 0, 1, 150.

LongitudinalForce - продольная сила, Н; FC=2000.

Mu1 - вязкость, Н*с/м; Mu = 800.

LateralForce - поперечная сила, Н; FC=8000.

Mu2 - вязкость, Н*с/м; Mu = 800.

Элементы модели

Начальное перемещение X0 — задаёт перемещение по оси Z.

Пространственный инерционный элемент MJ3D1— механический объект, положение которого отслеживается.

Point2DOFs – разветвитель узла Point по степеням свободы x, y, z, Rx, Ry, Rz.

Датчики перемещения X1, X2, X3 — измеряют перемещение объекта во времени.

Источники постоянной силы F - определяют величину прикладываемой силы.

SV1MUT1 - одномерная вязкостная связь с задаваемой таблично зависимостью усилия от скорости.

K1, K2, K3 - элементы упругости.

Mu1, Mu2 - компоненты вязкости.

Схема модели в PRADIS и полученные графики.

На графике мы видим, как при приложении силы к поворотному кулаку происходит перемещение колеса в поперечном и продольном направлении за счет деформации стойки. В вертикальном направлении через пять секунд колесо возвращается в исходное положение.

3.3.3. Использование сплиттеров P2DTP2D / P3D2P3D

3.3.3.1. Моделирование наклонного рельса или направляющей (P2DTP2D)

Описание модели

Тело движется вверх по наклонной поверхности. На него действуют сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила тяги, направленная под определенным углом. Мы применяем сплиттер P2DTP2D, позволяющий сориентировать ось Ох локальной системы координат в направлении вектора силы тяги. Система отслеживает положение объекта в заданный отрезок времени. На практике это можно представить как упрощенную модель взаимодействия тела и наклонной поверхности.

Параметры модели

angle — начальный угол наклона направляющих к оси Oх, градусы; angle = 45.

mu — Коэффициент трения, -; mu = 0,1.

FC - Значение силы/момента постоянной величины, Н; FC=1000.

M - Масса тела, кг; M=100

g - Номер оси, вдоль которой действует сила тяжести (1-3), -; g=2

служебные коэффициенты

LCS0 = [1,0,0,0,1,0,0,0,1] – положение старой ЛСК (ЛСК – локальная система координат), где

Ox Oy сдвиг системы координат

(1, 0) - направляющие косинусы Ox, (0, 1) - направляющие косинусы Oy,

(0, 0) – сдвиг системы координат.

(0, 0, 1) - служебные коэффициенты для возможности объединения поворота и сдвига в одной матрице. Они всегда равны (0, 0, 1).

LCS0 = [b, b, 0, bm, b, 0, 0, 0, 1] соответствует новой ЛСК, где аналогично:

(b, b) - направляющие косинусы Ox, (bm, b) - направляющие косинусы Oy,

(0, 0) – переменные для перемещения новой ЛСК;

(0, 0, 1) - служебные коэффициенты для возможности объединения поворота и сдвига в одной матрице. Они всегда равны (0, 0, 1).

b = 1 / √2, bm = -b.

Проверка новой системы координат на ортогональность:

Мы должны проверить, что Ох и Оу перпендикулярны.

Ох и Оу: (1 / √2)*(1 / √2)+ (-1 / √2)*(1 / √2) =0.

Элементы модели

MJ2EG1 – 2D инерционный элемент со смещенным центром с учетом силы тяжести.

NPR2D1 – направляющие скольжения, перемещающиеся в плоскости, идеально упругие, с трением и зазором.

F – источник силы/момента постоянной величины.

Point2d2DOFs2 – разветвители узла Point2d по осям х, у, r.

Obj_P2DTP2D – преобразование исходной 2D ЛСК в новую 2D ЛСК

Схема модели в PRADIS и полученные графики.

По графикам мы можем определить, что величина перемещения тела с датчика х6, взятая в момент времени 1 с, равна корню квадратному из суммы квадратов значений перемещения тела по осям х и у, взятых с датчиков х1 и х2 в момент времени 1 с, что совпадает с расчетной величиной перемещения.

3.3.3.2. Расчет проекций скоростей тела в новой системе координат (P3D2P3D)

Описание модели

В исходной 3D ЛСК тело массой M движется со скоростью V, проекции которой на оси Ох, Оу и Оz заданы изначально. Затем исходная ЛСК преобразуется в новую путём ее поворота на 90 градусов против часовой стрелки вокруг оси Z при помощи сплиттера P3D2P3D. В новой системе координат мы получаем новые проекции скорости. (см. Приложение 2)

Параметры модели

obj_Const_x: C=4, obj_Const_y: C=2, obj_Const_z: C=5 – значения констант для источников постоянного сигнала. То есть мы задаем значения скорости по х, y и z соответственно равными 4, 2 и 5.

mass — масса объекта, кг; mass1 = 1.

Служебные коэффициенты

LCS0 = [1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1] – положение старой ЛСК, где

Ox Oy Oz сдвиг системы координат

(1, 0, 0) - направляющие косинусы Ox,

(0, 1, 0) - направляющие косинусы Oy,

(0, 0, 1) - направляющие косинусы Oz,

(0, 0, 0) – сдвиг системы координат.

(0, 0, 0, 1) – Служебные коэффициенты для возможности объединения поворота и сдвига в одной матрице. Они всегда равны (0, 0, 0, 1).

LCS0 = [0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1] - положение новой СК, где аналогично:

(0, 1, 0) - направляющие косинусы Ox,

(-1, 0, 0) - направляющие косинусы Oy,

(0, 0, 1) - направляющие косинусы Oz,

(0, 0, 0) – сдвиг системы координат.

(0, 0, 0, 1) - Служебные коэффициенты для возможности объединения поворота и сдвига в одной матрице. Они всегда равны (0, 0, 0, 1).

Проверка новой системы координат на ортогональность:

- условие перпендикулярности векторов в координатной форме. Мы должны проверить, что Ох и Оу, Oy и Oz, Ох и Оz попарно перпендикулярны.

Ох и Оу: 0*(-1)+1*0+0*0=0; Оy и Оz: (-1)*0+0*0+0*1=0; Ох и Оу: 0*0+1*0+0*1=0.

При заданной ориентации новой ЛСК проекции скорости должны удовлетворять соотношениям: Vx_out = Vy_in, Vy_out = -Vx_in, Vz_out = Vz_in — при принятой в примере ориентации осей.

Элементы модели

obj_Const1, obj_Const2, obj_Const3 – источники постоянного сигнала

V – источник 3D скорости

Ball1 – инерционный однородный шар, работающий с геометрическим объектом привязки.

Point2XYZs3 – разветвитель узла x, y, z по степеням свободы x, y, z.

Point2DOFs1, Point2DOFs2 – разветвители узла Point по степеням свободы x, y, z, Rx, Ry, Rz.

P3D2P3D1 – пересчет движения точки из глобальной в локальную систему координат.

Vx_in, Vy_in, Vz_in, Vx_out, Vy_out, Vz_out, Vrotx_in, Vroty_in, Vrotz_in, Vrotx_out, Vroty_out, Vrotz_out – индикаторы масштабированного значения скорости в узле.

Схема модели в PRADIS и полученные графики.

Результат моделирования:

По графикам мы можем определить, что значение скорости по оси Оz в новой системе координат не поменялось, значение скорости по оси Ох стало равно значению скорости по оси Oy, а значение скорости по оси Оу стало равно отрицательному значению скорости по оси Oх, что соответствует повороту старой ЛСК на 90 градусов против часовой стрелки вокруг оси Z.

3.3.3.3. Связь плоского механизма (Point2d) с 3D-основанием (Point)

Описание модели

Трехмерное тело c массой равной mass движется с постоянной скоростью V, вектор которой задан в плоскости 2D-ЛСК и сонаправлен с осью Z. При помощи параметров сплиттера Point2d2Point мы можем расположить 2D-ЛСК в 3D-СК необходимым нам образом.

Параметры модели

PointO - Начало координат 2D-узла в 3D-системе координат.

PointX - Точка на оси X 2D-узла, определяющая направление оси Ох.

PointXoY - Точка на плоскости XoY 2D-узла, задающая плоскость ХОУ.

Kx - Жесткость в направлении X

Ky - Жесткость в направлении Y

Kt - Жесткость на кручение

Kx= Ky= Kt=1е6.

В данном случае мы изменяем значения по умолчанию указанных параметров сплиттера на следующие:

PointO [0,0,0] –> [0,0,0]

PointX [1,0,0] –> [0,-1,1]

PointXoY [0,1,0] –> [0,1,1]

Тогда:

VZ_3D = V2D = (VX2D ^2 + VY2D ^2)**0.5

Mass — масса объекта, кг; Mass = 2.

obj_Const1: C=2, obj_Const2: C=2– значения констант для источников постоянного сигнала. То есть мы задаем значения скорости по х и y соответственно равными 2 и 2.

Элементы модели

obj_Const1, obj_Const2, obj_Const3 – источники постоянного сигнала.

V2d – источник 3D скорости.

Ball1 – инерционный однородный шар, работающий с геометрическим объектом привязки.

VZ_3D – индикатор масштабированного значения скорости в узле.

Point2d2Point - cвязь между узлами «Point2d» (2D-точки) и «Point» (3D-точки»).

Point2DOFs – разветвитель узла «Point» по степеням свободы х, у, z, Rx, Ry, Rz.

Схема модели в PRADIS и полученные графики.

Результат моделирования:

Значения на графике соответствуют формуле.

3.3.3.4. Отбор давления для ПИД-регулятора гидросистемы

Описание модели

Использование сплиттера ThermalFluid2PT для модели с источником переменного давления и стоком. Имеется труба с тремя портами, к двум портам типа Thermalfluid подсоединены источники постоянного давления, а тепловой порт в данной задаче не используется. За счет разницы давлений происходит движение жидкости в трубе. С помощью сплиттера ThermalFluid2PT, подключенного к точке А, мы можем выделить значение объемного расхода по линии P и значение потока энтальпии по линии T для дальнейшего анализа этих значений.

Параметры модели

P — давление, кПа; P1=200, P2=180.

T — Температура, C; T1=T2=30.

obj_Const1: C=30– значение температуры для управляемого источника давления.

obj_TrapeziumSource1:

VL – Пассивный уровень; VL=180

VH - Активный уровень; VH=200

D - Начальная задержка; D=0.1

FT - Продолжительность переднего фронта импульса; FT=0,5

Rt - Внутреннее сопротивление источника температуры; R=1e-6.

Rp - Внутреннее сопротивление источника давления; R=1e-6.

Модуль упругости Eg, абсолютная вязкость Nu и плотность Ro жидкости импортируются из файлов типа *.f2a через элементы ImportData.

Элементы модели

SPGT1—источник постоянного давления.

USPGT1 – управляемый источник давления.

ThermalFluid2PT1, ThermalFluid2PT2 - разветвители узла по тепловой гидравлике для давления и температуры.

PIPEGT1 - труба с теплопереносом.

obj_Const1– источник постоянного сигнала.

obj_TrapeziumSource1 – источник сигнала трапециевидной формы.

Qh, Qv – преобразователи разницы сил в сигнал.

Схема модели в PRADIS и полученные графики.

На графиках мы наблюдаем процесс изменения потока энтальпии и объемного расхода жидкости в трубе за время, равное 1 с, при увеличении перепада давления.

3.4. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 - Угловые степени свободы в пространственных элементах

3.4.1. Кинематические параметры

Согласно теореме Эйлера, твёрдое тело из одного углового положения в другое можно перевести одним поворотом вокруг некоторой оси. Вводятся четыре кинематических параметра:

\[x_{1} = e_{1}\sin\frac{\Phi}{2},\quad x_{2} = e_{2}\sin\frac{\Phi}{2},\quad x_{3} = e_{3}\sin\frac{\Phi}{2},\quad x_{4} = cos\frac{\Phi}{2}\quad\quad(1)\]

Эти параметры связаны уравнением:

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1\quad\quad(2)\]

В отличие от любой совокупности трёх кинематических параметров (например, углов Эйлера), указанные четыре параметра не вырождаются при любом положении твёрдого тела.

3.4.2. Угловые степени свободы в PRADIS

\[q_{1} = x_{1}L_{q},\quad q_{2} = x_{2}L_{q},\quad q_{3} = x_{3}L_{q},\quad q_{4} = x_{4}L_{q}\quad\quad(3)\]

где

\[L_{q} = \sqrt{q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} + q_{4}^{2}}\quad\quad(4)\]

Первые три степени свободы являются внешними для моделей элементов, четвёртая — внутренняя, скрытая от пользователя. Начальное значение потенциальной переменной, соответствующей внутренней степени свободы, устанавливается в моделях элементов равным 1.

3.4.3. Потоковые переменные

Потоковыми переменными для первых трёх степеней свободы являются моменты по глобальным осям X, Y, Z. Четвёртая (внутренняя) потоковая переменная сдерживает изменение во времени величины \(L_{q}\):

\[i_{4} = M_{u}\frac{dL_{q}}{dT}\quad\quad(5)\]

где \(M_{u}\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех степеней свободы такого рода и зависящий от заданной точности решения и разрядной сетки используемого процессора.

3.4.4. Рекомендации для пользователя

Для пользователя корректны практически все приёмы, характерные для поступательного движения:

• Можно запрещать движение по выбранным угловым степеням свободы (базируя соответствующие узлы), что равносильно сокращению размерности вектора, направленного по оси конечного вращения.

• Связь по вращению между точками стыкуемых элементов можно осуществлять не по всем трём степеням свободы, а только по выбранным.

Внимание: в отличие от плоского вращения, первая и вторая производные от потенциальных переменных (3) не являются угловой скоростью и угловым ускорением соответственно. Начальные условия, задаваемые моделью VN, не определяют, в общем случае, начальную угловую скорость. ПРВП типов V и A выводят текущие значения первой и второй производной от потенциальной переменной. Значения угловых скоростей и ускорений доступны из рабочего вектора некоторых моделей элементов, в частности J3O.

3.5. ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Для сплиттера P2DTP2D LCS0 = [a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9] соответствует матрице:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} a1, & a4, & a7, \\ a2, & a5, & a8, \\ a3, & a6, & a9 \end{pmatrix},\end{split}\]

в которой:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \begin{pmatrix} a1, & a4 \\ a2, & a5 \\ \end{pmatrix},\end{split}\\- ядро матрицы, отвечающее за поворот;\end{aligned}\end{align} \]

(a1, a2) - направляющие косинусы Ox,

(a4, a5) - направляющие косинусы Oy,

(a7, a8) – сдвиг системы координат:

(a3, a6, a9) - служебные коэффициенты для возможности объединения поворота и сдвига в одной матрице. Они всегда равны (0, 0, 1).

Для сплиттера P3DTP3D LCS0 = [a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16] соответствует матрице:

(a1 a5 a9 a13

a2 a6 a10 a14

a3 a7 a11 a15

a4 a8 a12 a16), в которой:

(a1 a5 a9

a2 a6 a10

a3 a7 a11) - Ядро матрицы, отвечающее за поворот;

(a1, a2, a3) - направляющие косинусы Ox,

(a5, a6, a7) - направляющие косинусы Oy,

(a9, а10, а11) - направляющие косинусы Oz,

(a13, a14, a15) – сдвиг системы координат:

(a4, a8, a12, a16) - служебные коэффициенты для возможности объединения поворота и сдвига в одной матрице. Они всегда равны (0, 0, 0, 1).